Экстремумы функции: зачем они нужны на экзамене
Словосочетание «экстремумы функции» звучит чуть пугающе, однако именно эта тема дарит стабильные баллы в профильной части ЕГЭ. Задача номер 12 проверяет умение находить максимумы и минимумы, строить графики и обосновывать ответ. Уйти от вопроса не выйдет: задание почти всегда присутствует, а его стоимость сопоставима с тригонометрическим или параметрическим пунктом. Поэтому твердая техника поиска экстремумов — прямая дорога к итоговым 80+ баллам.
Для школьника это еще и первый опыт «взрослой» математики. Нужно держать в голове определение производной, а также связь между её знаками и характером роста функции. Большинство ребят соглашается: когда алгоритм освоен, считать становится даже увлекательно. В статье разберём пошаговый метод, обнаружим ловушки и подготовим рабочий план практики.
От критической точки к вершине графика
Любой поиск экстремума начинается с нахождения критических точек. К ним относят внутренние точки области определения, где f′(x)=0 или производная не существует. Дополнительно проверяют концы промежутка, если условие задания ограничивает аргумент. Такой список формирует кандидатуры на максимум или минимум.
Дальше включается тест знаков. Ученик составляет таблицу, расставляет интервалы возрастания и убывания, а затем сравнивает значения функции. При смене знака производной с плюса на минус получается максимум, наоборот — минимум. При сохранении знака экстремума нет. Правило кажется очевидным, но оно экономит время и снижает вероятность алгебраической ошибки.
Пошаговый алгоритм решения задач №12
Разложим процесс по полочкам:
- Записываем область определения, особенно внимательно к логарифмам, корням и дробям.
- Находим производную, упрощаем без фанатизма, выносим общий множитель.
- Определяем критические точки, решая f′(x)=0 и разбираясь с точками разрыва производной.
- Строим таблицу знаков производной или наносим ключевые точки на числовую ось.
- Вычисляем значения функции в каждой кандидатуре, сравниваем и формулируем вывод.
- Записываем ответ строго в формате условия, например «x=3» или «наименьшее значение –2».
Если функция задана на отрезке, границы никогда нельзя игнорировать: нередки случаи, когда именно там прячется глобальный максимум.
Нюансы: отсутствие производной и границы области
Ученики боятся точек, где производная не существует. Однако достаточно помнить: если функция определена, такая точка всё равно критическая. Пример — f(x)=|x|. Производная в нуле отсутствует, но именно в нуле минимальное значение.
Ещё одна тонкость кроется на границе области определения. При логарифмической или дробной записи правый или левый конец промежутка может быть недостижим. В таком случае проверяют лишь допустимые точки, а недостижимые обозначают стрелкой в таблице. Систематический подход помогает избежать потери баллов за неверно выбранный кандидат.
Типовые ловушки и способы обхода
Первая распространённая ошибка — невнимательность к знаку коэффициента перед старшей степенью. У квадратичной функции это меняет максимум на минимум. Вторая — забытый множитель при упрощении производной, из-за чего теряется лишний корень в уравнении f′(x)=0. Третья — подмена глобального экстремума локальным.
Как избежать промахов? Проверять каждый шаг глазами, а не по памяти; держать при себе шаблонную таблицу производных; решать в черновике, а в чистовик переписывать уже готовый вывод. Полезно искусственно усложнять стандартные задания, заменяя коэффициенты на дроби или корни и наблюдая, меняется ли логика.
Практика с графиками и технологиями
Графическая интуиция превращает сухие вычисления в наглядную историю. Нарисуйте эскиз функции, отметьте точки, где производная обнуляется, и вы сразу почувствуете, чего ждать от ответа. Бесплатные графические калькуляторы только помогают, если использовать их правильно: сначала пишем аналитическое решение, затем сверяем картинку.
Важный помощник — таблица производных. Распечатайте, повесьте над рабочим столом, пользуйтесь при каждой тренировке. Через месяц большая часть формул запомнится сама собой. Но не полагайтесь исключительно на память, проверяйте алгебру руками, иначе мелкие неточности сведут на нет все старания.
Экстремумы в сюжетных задачах и оптимизации
ЕГЭ любит прикладные формулировки: «оптимальный объём цилиндра», «минимальные расходы материала», «максимальная прибыль». Здесь школьнику предстоит построить модель, вывести функцию от одного переменного и лишь потом искать экстремум. Ошибка в модели ведёт к неверному финалу, поэтому уделяйте внимание первому шагу.
Полезно тренировать перенос реального текста в математический язык: ищите зависимость цены от спроса или длины детали от угла, пока не получите выражение f(x). Дальше алгоритм уже знаком. Аналитические навыки и жизненные примеры укрепляют мотивацию: видно, что математика работает вне тетрадей.
План подготовки и полезные ресурсы
Стратегию удобно разбить на четыре этапа. Сначала повторяем теорию, выписываем формулы производных. Затем отрабатываем алгоритм на простых полиномах. Третьим шагом решаем смешанные примеры с дробями, корнями и логарифмами. Финальный этап — прикладные задачи и проверка времени: учимся укладываться в 10 минут.
Систематичность повышается, если следовать расписанию. Три-четыре коротких сессии в неделю лучше, чем один марафон по воскресеньям. При нехватке самоорганизации подключайте онлайн-формат: курс подготовка к ЕГЭ даст готовые планы, чек-листы и обратную связь от наставника.
Экстремумы не такой уж зверь. Когда понятен алгоритм, остаётся лишь тренировать скорость и аккуратность. Прилежная практика гарантирует, что самый сложный график превратится в пару понятных чисел, а заветные баллы окажутся в кармане.