Почему логарифмы пугают на ЕГЭ
Стартовая паника знакома многим: видишь «log» и будто забываешь алгебру. Фокусная фраза «ЕГЭ-мат профиль без паники: логарифмические уравнения» появляется сразу, чтобы задать тон и напомнить — все решаемо. Корень страха прост. Логарифмы объединяют степени, дроби, неравенства и требуют дополнительного контроля области определения. При этом задания дают щедрые баллы, если действовать системно. Стоит разобрать пять базовых приёмов, научиться проверять ответы и проблема исчезает. Важно помнить: логарифмы — это всего лишь обратные операции к степеням. Любая степень превращается в логарифм и обратно по формуле. Когда упрощение выполнено, задача сводится к линейному или квадратному уровню. В ваших руках остается привычная техника. Паника уменьшается, а время на задачу — тоже.
Базовые свойства и их роль в экономии времени
Свойства логарифмов экономят минуты, а иногда и весь балл. Ученики часто используют их частично, забывая проверить знаки основания и аргумента. Чтобы не терять ход решения, держите перед глазами три правила:
- Произведение превращается в сумму: loga(bc)=logab+logac.
- Деление переходит в разность: loga(b/c)=logab−logac.
- Степень перемножается: loga(bk)=k·logab.
Комбинация этих правил позволяет за три шага превратить длинное выражение в короткую линейную формулу. Проверка области определения всегда ставится первой. Если основание положительно и не равно единице, а аргумент положителен, можно двигаться дальше. Нарушение хотя бы одного пункта делает решение бессмысленным. Поэтому начинайте с ОДЗ, записывайте её рядом и проверяйте ответы. Это простое действие снижает риск обнулить полученные баллы.
Типовая техника: перенос к общей основе
Частая ловушка — разные основания в одном уравнении. Решать напрямую сложно, но метод общей основы помогает. Выберите число, в которое можно превратить оба основания степенью. Например, log4x и log8x удобно свести к основанию 2. Преобразуйте: 4=22, 8=23. Используйте формулу смены основания: log4x = log2x / 2. Уравнение сразу упрощается до линейного по log2x. Теперь решите, восстановите x и проверьте ОДЗ. Такой переход спасает от громоздких степеней и позволяет избежать длинных вычислений. Чем чаще вы тренируетесь, тем быстрее замечаете подходящее основание. Со временем выбор происходит почти автоматически.
Замена переменной: когда она спасает
Нередко выражение внутри логарифма складывается из нескольких функций. Тогда полезно ввести новую переменную. Допустим, log3(x+1)+log3(x−2)=1. Примените свойство произведения и получите log3((x+1)(x−2))=1. Смена переменной t=(x+1)(x−2) превращает логарифмическое уравнение в 31=t. Найдите t, затем составьте квадратное уравнение (x+1)(x−2)=3. Решите и проверьте ограничения: x>2 или x>−1. Подходит только корень 3. Замена особенно полезна, когда после раскрытия скобок выходит многочлен высокой степени. Время сокращается, а ошибки сокращаются вместе с ним. Главное — не забывайте вернуть переменную и проверить область определения.
Решение через графики: визуальный контроль
Если алгебра не даёт ответ сразу, нарисуйте графики. Постройте y=loga(f(x)) и y=g(x). Точки пересечения — искомые корни. При a>1 логарифмическая кривая возрастает, при 0<a<1 убывает. Зная это, легко прикинуть количество решений без сложных расчётов. Например, уравнение log2(x−1)=x−3 можно проанализировать визуально. Прямая y=x−3 пересечёт логарифм один раз, потому что после x=4 кривая растёт медленнее. Графический метод подходит для проверки результата или поиска начального приближения при численных расчётах. Он также помогает убедиться, что лишних корней не появилось из-за арифметических ошибок.
Частые ловушки и проверки ОДЗ
Главный источник потерь баллов — игнорирование ограничений. Помните два условия: аргумент положителен, основание положительно и не равно единице. Рассмотрим типовой пример. Решая log0,5(2x−1)=2, многие сразу переходят к степени. Получают 2x−1=0,25 и выводят x=0,625. Однако забывают проверить 2x−1>0. Корень подходит, но случается обратное, когда условие нарушается. Старайтесь писать ограничения в первом же шаге и оставлять протокол проверки в черновике. Вторая ловушка — переход через квадрат: при возведении обеих сторон в квадрат создаётся лишний корень. Действенный способ избежать этого — после вычислений подставить найденные значения обратно. Такая привычка сэкономит нервы на апелляции.
Пробное задание — ЕГЭ-мат профиль без паники: логарифмические уравнения на практике
Решим демонстрационную задачу уровня №15. Уравнение: log3(x2−5x+6)=1−log3(x−2). Сначала проверяем ОДЗ: x>2 и x2−5x+6>0. Квадратный треугольник даёт дискриминант 25−24=1, корни 2 и 3. Неравенство положительно вне интервала (2;3). Совместив условия, получаем две зоны: x<2 и x>3. Но x>2 уже требовалось, значит остаётся x>3. Перенесём правую часть: log3(x2−5x+6)+log3(x−2)=1. Объединим логарифмы по правилу произведения: log3((x2−5x+6)(x−2))=1. Перейдём к степени: (x2−5x+6)(x−2)=3. Раскроем скобки и получим кубическое уравнение: x3−7x2+16x−12=3. Перенос даёт x3−7x2+16x−15=0. Подбор показывает корень x=3. Деление многочлена снижает степень и оставляет квадратное x2−4x+5=0 с отрицательным дискриминантом. Таким образом, единственный ответ — 3. Он удовлетворяет OДЗ, значит задача решена. Обратите внимание: аккуратная запись условий позволила отбросить лишние корни ещё до алгебры.
План повторения за две недели до экзамена
Чёткий график закрепляет навыки и уменьшает стресс. День 1: повторите свойства логарифмов и решите 10 коротких примеров. День 2: техника общей основы, 15 задач. День 3: тренировка замены переменной. День 4: графические методы, прорешайте три задания с построением. День 5: отработайте проверки ОДЗ. День 6: смешанный тест. День 7 — небольшой отдых и анализ ошибок. Повторите цикл во второй неделе и добавьте полный вариант ЕГЭ. Если нужна поддержка, запишитесь на курс подготовки к ЕГЭ в онлайн-школе el-ed.ru; там дают дополнительные тренажёры и проверку решений. В день перед экзаменом решите два лёгких примера, закройте тетрадь и отдыхайте. Мозгу нужен сон, чтобы формулы превратились в уверенность.