Почему рациональные неравенства кажутся страшными
Фраза «ЕГЭ-мат профиль без паники» редко звучит в голове одиннадцатиклассника, когда он видит дробь с переменной в знаменателе. Однако страх почти всегда связан не с реальной сложностью, а с неопределённостью. Уравнения и неравенства, где переменная спрятана под чертой, создают ощущение бездны: неверный шаг — и всё рушится. Разберёмся, как убрать туман и увидеть чёткий маршрут решения.
Школьник обычно держит в памяти лишь два факта: знаменатель не должен обращаться в ноль и знак дроби зависит от числителя и знаменателя. Этого мало, чтобы чувствовать контроль. Нужен план, который работает всегда, а не только в примерах из учебника.
Минимальный набор теории для уверенного старта
Рациональное выражение — это дробь, где числитель и знаменатель являются многочленами. Область допустимых значений (ОДЗ) задаёт перечень x, при которых знаменатель не равен нулю. Если выражений несколько, исключаем все точки, где любой знаменатель обращается в ноль.
Далее вспоминаем правило знаков. Знак дроби совпадает со знаком произведения знаков числителя и знаменателя. Следовательно, достаточно выявить, где каждый многочлен положителен, отрицателен или нулевой. Нули многочленов превращаются в точки смены знака. Построив числовую прямую, удобно отмечать там выколотые и закрашенные точки, а затем чередовать интервалы.
Важно: равенство нулю допустимо только для числителя, если знаменатель в этот момент не обнуляется. Это замечание экономит время и убирает лишние точки из ответа.
Метод интервального анализа: последовательный алгоритм
Алгоритм работы с рациональным неравенством выглядит так:
- Приводим выражение к виду дробь > 0 или < 0. Все слагаемые переносим в одну сторону.
- Разлагаем числитель и знаменатель на множители. Если нужно, применяем теорему Виета или группировку.
- Выписываем ОДЗ: записываем условие, при котором каждый знаменатель не равен нулю.
- Строим таблицу знаков. На горизонтальной оси ставим корни числителя и знаменателя.
- Последовательно определяем знак каждого множителя на каждом интервале; итоговый знак получаем умножением.
- Выбираем интервалы, удовлетворяющие исходному неравенству, учитывая строгие и нестрогие знаки.
Метод надёжен, повторяем и автоматизируем. Чем больше раз его прорешать, тем быстрее мозг видит структуру задачи.
Подводные камни: как не потерять знак по дороге
Главный источник ошибок — забытый минус. При переносе членов за черту важно следить, меняется ли не только знак всего выражения, но и степень каждого множителя. Второй камень — упрощение после умножения на квадрат. Если обе части неравенства умножить на выражение, которое может быть отрицательным, направление знака меняется. Чтобы избежать ловушек, многие эксперты советуют вообще не умножать, а сразу приводить к общему знаменателю и работать с одной дробью.
Третий нюанс связан с двойными корнями. Если множитель имеет степень два и больше, знак на интервале может сохраняться, а не чередоваться. Ошибку легко увидеть в таблице: квадрат не меняет знак при переходе через ноль.
Три типовых задачи из ЕГЭ
Первый тип — простая дробно-рациональная форма: (x−3)/(x+2) > 0. Здесь достаточно одной таблицы и двух точек. Второй тип — сумма или разность нескольких дробей. Сначала приводим к общему знаменателю, только потом строим таблицу. Третий тип — параметрический вариант, где в знаменателе или числителе присутствует a. Тогда приходится исследовать знаки для разных значений параметра. Но общий каркас решения остаётся прежним: ОДЗ, факторизация, таблица.
Статистика ФИПИ показывает: рациональные неравенства чаще встречаются в задании 14. Балл весомый, а решить можно за пять минут при отработанном алгоритме.
Практическая тренировка: полный пример с разбором
Решим неравенство: (x² − 5x + 6)/(x² − 4) ≤ 0.
1. Факторизация. Числитель: (x−2)(x−3). Знаменатель: (x−2)(x+2).
2. Сокращать нельзя: x = 2 — запрещённая точка. Сразу пишем ОДЗ: x ≠ 2, x ≠ −2.
3. Корни множителей: −2, 2, 3. Отмечаем их на прямой. Точки −2 и 2 выколоты, 3 закрашена, так как она из числителя.
4. Таблица знаков:
- Интервал (−∞;−2): знак +/+, значит +.
- (−2;2): числитель меняет знак при 2, знаменатель — при −2 и 2. Итог −.
- (2;3): после 2 числитель +, знаменатель +, знак +.
- (3;∞): числитель +, знаменатель +, знак +.
5. Нас интересует ≤0. Подходит только интервал (−2;2), причём точки −2 и 2 исключаем, а точка 3 не годится, так как знак +. Ответ: (−2;2).
Пример показывает: алгоритм прост, если придерживаться порядка.
ЕГЭ-мат профиль без паники: стратегия последней недели
За семь дней до экзамена не стоит брать новые темы. Лучше закрепить алгоритм на десяти свежих вариантах. Распределите тренировки так: утром — один полный вариант; вечером — разбор только рациональных неравенств. Фиксируйте время решения и сравнивайте с нормой пять минут.
Полезно держать перед глазами чек-лист:
- Записал ОДЗ?
- Факторизовал полностью?
- Отметил корни с правильным типом точки?
- Проверил квадраты и чётные степени?
- Вписал ответ без запрещённых значений?
Такой лист экономит нервы. Мозг работает по схеме, а не пытается придумать велосипед на экзамене.
Где брать задачи и помощь вне школы
Официальный источник — открытый банк ФИПИ. Там представлены все актуальные форматы. Дополните его сборниками Ященко: задачи отсортированы по типу, что удобно для серийной тренировки. Чтобы контролировать время, лучше решать онлайн-тесты: таймер внутри сервиса создаёт атмосферу реального экзамена.
Если нужна поддержка наставника, присмотритесь к онлайн школе с акцентом на практику. Например, курс подготовки к ЕГЭ предлагает регулярные проверочные и быструю обратную связь. Такой формат помогает увидеть прогресс и скорректировать слабые места до часа Ч.
Итог прост. Рациональные неравенства — это технология, а не лотерея. Следуйте алгоритму, тренируйтесь каждый день, и балл в задании 14 станет стабильным ресурсом для высоких 80+ на профильном ЕГЭ.