Зачем школьнику знать уравнение окружности
Уравнение окружности ЕГЭ математика профиль давно пугает одних выпускников и вдохновляет других, но игнорировать его нельзя. Задачи с окружностями встречаются в первой части, иногда всплывают и во второй, поэтому навык быстро писать уравнение экономит баллы. Координатный способ совместим с графиками, параметрами и тригонометрией, а значит, помогает сразу в нескольких темах. Кроме того, окружность — идеальный мост между планиметрией и алгеброй: перевод рисунка в формулы делает решение прозрачным и проверяемым.
Чем раньше школьник поймёт геометрический смысл записи, тем меньше времени уйдёт на вычисления. Одна формула позволяет найти центр, радиус, окружные точки и даже направление движения по дуге, если речь идёт о задачах с физическим подтекстом. На экзамене это часто значит одно: минус три строчки выкладок, плюс пара драгоценных минут.
Классический вид уравнения и его геометрический смысл
Основная запись выглядит так: (x − a)² + (y − b)² = R². Точка с координатами (a; b) — центр, R — радиус. Каждая пара (x, y), удовлетворяющая равенству, лежит на окружности, а любая точка вне круга даст левую часть больше R². Простая форма уравнения сохраняет все свойства расстояния между точками: сумму квадратов проекций, взятую из теоремы Пифагора. Поэтому ученику не нужно запоминать лишнюю теорию, достаточно помнить правило: «расстояние от произвольной точки до центра равно радиусу».
Запись в развёрнутом виде приходит из раскрытия скобок: x² + y² + Ax + By + C = 0, где A = −2a, B = −2b, C = a² + b² − R². Этот вариант полезен, когда задача уже содержит подобные коэффициенты. Главное — уметь выполнить обратное преобразование и увидеть за набором чисел центр с радиусом. Чем быстрее происходит «узнавание», тем меньше риск пропустить подвох автора задания.
Как быстро найти центр и радиус
Приём «полных квадратов» многие слышали на алгебре, но на ЕГЭ он проявляется ярче. Шаг первый: сгруппируйте x и y, вынесите коэффициенты при них. Шаг второй: добавьте недостающие квадраты, одновременно вычитая их, чтобы сохранить равенство. Шаг третий: перенесите свободные члены вправо и извлеките корень. Центр получается из половин коэффициентов A и B со сменой знака, радиус — корень из правой части.
Например, уравнение x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0. Сгруппируем: (x² − 4x) + (y² + 6y) = 3. Добавляем квадраты: (x² − 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 3 + 4 + 9. Получаем (x − 2)² + (y + 3)² = 16. Центр (2; −3), радиус 4. Три строки — и вся геометрия перед глазами.
Параметрические задачи и ловушки составителей
Когда в условии появляется параметр k, стрелка сложности мгновенно поднимается. Допустим, требуется найти все k, при которых прямая y = kx + 2 касается окружности. Выражение касания сводится к системе: подставляем уравнение прямой в окружность, получаем квадратное относительно x. Условия касания эквивалентны дискриминанту, равному нулю. В результате задача переходит в алгебру второй степени, а k находится за пару минут.
Частый трюк экзаменатора — поменять вид окружности на развёрнутый и добавить параметр в коэффициенты. Невнимательный решающий тратит время на вычисления радиуса при каждом значении k. Правильнее вынести параметр за скобки и работать символически. Ещё одна ловушка — прямая вида x = k. Тогда нужно проверять расстояние от центра до прямой, а не дискриминант, и помнить, что формула для расстояния до вертикальной линии упрощается: |a − k|.
Метод координат и уравнение окружности ЕГЭ математика профиль
Сочетание планиметрии с координатами даёт мощный универсальный метод. Если в задаче есть точные длины сторон, проще ввести систему координат: одну вершину треугольника посадить в начало, другую — на ось absciss. Тогда уравнение описанной окружности находится за минуту. Позже приходится искать углы или площади, и координаты вновь помогают: скалярное произведение, формула Герона или матричное вычисление площади через определитель.
Важно помнить: выбор удобного положения рисунка экономит время. Круг можно «совместить» с системой так, чтобы центр оказался (0; 0). При таком выборе уравнение упрощается до x² + y² = R². Любая дополнительная конструкция, например хорда параллельная оси, тогда приобретает численное выражение без лишних букв. Подобная стратегия особенно ценна во второй части, где проверяющий ждёт чистого и короткого решения.
Типичные ошибки и как их избежать
- Не проверяется знак правой части после преобразований. Если число отрицательно, окружность не существует.
- Смешиваются единицы измерения, когда радиус дан в сантиметрах, а координаты в метрах.
- Забывается условие касания: дискриминант равен нулю, а не меньше нуля.
- Неверно округляются корни при промежуточных вычислениях, что сдвигает центр.
- Пропускается проверка ответа в исходной системе, особенно при параметрах.
Сократить риск помогает малая дисциплина: всегда сохраняйте лишние цифры до конца задачи, читайте условие повторно перед финальной записью и держите под рукой шаблон проверки дискриминанта.
Тренируемся: пошаговый разбор задачи профильного уровня
Условие. Дан треугольник ABC со сторонами 10, 14, 18. Найти радиус описанной окружности. Решение. Разместим вершину A в начале координат, сторону AB вдоль оси x. Пусть B(10; 0). Координаты C найдём по формуле расстояния: выберем xC = d, yC = h, где d² + h² = 14², (d − 10)² + h² = 18². Решая систему, получим d = 7,2 и h ≈ 13,28. Центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров. Его координаты даёт решение линейной системы, но быстрее применить формулу радиуса: R = abc / (4S). Площадь треугольника находим через координаты: S = ½|10·h| ≈ 66,4. Подставляем: R ≈ 10·14·18 / (4·66,4) ≈ 9,5. Все шаги укладываются в четыре перехода, и ни одна величина не вычисляется дважды.
Формула успеха: стратегия подготовки за месяц
За четыре недели можно успеть довести тему окружности до автоматизма. Неделя первая — теория и базовые преобразования. Вторая — касательные, хорды, параметры. Третья — комбинированные задачи с треугольниками и углами. Четвёртая — полноформатные варианты с секундомером. Хорошо показать прогресс тренеру: преподаватель видит слепые зоны лучше. Кстати, у онлайн школы EL-ED есть экспресс курс подготовки к ЕГЭ с еженедельной диагностикой, что помогает удержать темп.
Не забывайте полчаса в день решать выбранный банк задач без помощи тетради — вслух, объясняя себе каждый шаг. Такой приём убеждает мозг, что материал уже ваш, а рука привыкает писать ключевые формулы автоматически. На экзамене останется только собраться и воспроизвести знакомые движения.