Почему темы о ГМТ спасают баллы
Геометрическое место точек часто кажется теорией без практики. На ЕГЭ это не так. Минимум одно задание относится к ГМТ. Баллов там немного, но они бесплатные, если знать приёмы. Многие школьники путаются в формулировках. Тратят драгоценные минуты. Уходят в алгебру, хотя нужна простая геометрия. Цель раздела — показать выгоду. Решаете ГМТ — набираете время и уверенность. Экзамен становится спокойнее. Ошибка здесь не тянет всю работу вниз. Поэтому разберём лайфхаки.
Базовые определения без лишней воды
ГМТ — это набор точек, удовлетворяющих условию. Пример простой: окружность. Каждая точка равноудалена от центра. Другая классика — серединный перпендикуляр. Точки равноудалены от концов отрезка. В экзамене встречаются и более яркие фигуры. Условия часто завуалированы, но принцип тот же.
- Равное расстояние до двух точек ⇒ серединный перпендикуляр.
- Равное расстояние до прямой и точки ⇒ парабола.
- Сумма расстояний до фокусов постоянна ⇒ эллипс.
- Разность расстояний постоянна ⇒ гипербола.
Важно выучить эти четыре правила. Они закрывают 80% задач. Остальное — комбинации.
Три главных типа экзаменационных задач
Первый тип: найти уравнение нужной линии. Здесь дают координатную систему. Часто нужно подставить условие в формулу расстояния. Выходит квадратное уравнение. Дальше упрощаете. Второй тип: описать фигуру словами. Требуют назвать линию и её параметры. Часто спрашивают радиус окружности или расстояние до оси. Третий тип: построить на чертеже. Это встречается во второй части. Нужно доказать, что искомая точка лежит на определённом ГМТ. Понимание теории резко уменьшает объём доказательств.
Алгоритм распознавания ГМТ
Есть рабочая схема из пяти шагов.
- Выделите ключевые слова: «равноудалены», «сумма», «разность» или «произведение» расстояний.
- Проверьте, от чего берут расстояния: точки, прямые, плоскости.
- Сделайте быстрый чертёж черновиком. Он визуализирует задачу.
- Соотнесите с выученными «словами-сигналами» из предыдущего раздела.
- Запишите краткий вывод: «Пусть X — искомая точка. Тогда …» и перечислите свойства.
Метод экономит время, потому что исключает блуждания. Каждая фраза ведёт к конкретной фигуре. Ошибок меньше, ведь вы действуете по шаблону.
Частые ловушки и как их обходить
Первая ловушка — невнимательность к словам «сумма» и «разность». Студенты пишут эллипс вместо гиперболы. Вторая: измерение отрезка не перпендикуляром. Расстояние до прямой — это перпендикуляр, а не наклон. Третья: забывают про знак модуля в координатах. В результате получают лишние ветви. Лайфхак: всегда завершайте решение проверкой «точка подходит ли условию». Подставьте координаты контрольной точки. Если выражение не равно нужной константе, значит форма ошибочна.
Практика: быстрый набросок чертежа
Черчение отнимает секунды, но спасает минуты. Вот упрощённая техника:
- Тонкой линией набросайте систему координат.
- Отметьте данные точки и прямые без измерений.
- Проведите потенциальную линию ГМТ карандашом.
- Подпишите ключевые расстояния. Так меньше шансов спутать точки.
- Там, где условие двойное, рисуйте оба ГМТ и берите пересечение.
Не пытайтесь делать идеальный рисунок. ЕГЭ не оценивает красоту. Главное — ясность мыслей. Чертёж экономит память: вы видите фигуру вместо длинной записи.
Тренировочные ресурсы и полезные задачи
Пожалуй, лучшая тренировка — прорешать варианты прошлых лет. Обязательно используйте официальные спецификации. Там указаны темы, порядок и форма. Сайт ФИПИ публикует открытый банк. Книги Ященко включают свежие модели. Онлайн платформы тоже помогают. Например, наш курс подготовки к ЕГЭ разбирает каждую задачу пошагово, даёт интерактивные тесты и мгновенную проверку.
Список задач для самоконтроля:
- Найдите уравнение параболы, если фокус (2;3) и директриса x = –2.
- Докажите, что точки, сумма расстояний которых до точек A и B равна 10, образуют эллипс.
- Опишите линию, разность расстояний до прямых y = 1 и y = –1 равна 4.
- Постройте геометрическое место точек, равных расстояний до точки (0;0) и прямой y = 4.
Проверьте себя по ответам в конце сборника. Если решение разошлось, найдите ошибку. Это важнее, чем просто записать правильный результат.
Финальный чек-лист перед экзаменом
Накануне важно не забить голову новой теорией. Лучше освежить алгоритмы.
- Повторите четыре базовых ГМТ с примерами.
- Прогоните пять-шесть задач на время. Держите темп восемь минут на решение.
- Соберите формулы расстояния в отдельном листке. Это поможет при волнении.
- Потренируйте чертёж: возьмите чистый лист, нарисуйте все типы линий.
- Сделайте минутный самоопрос: «Что такое серединный перпендикуляр?». Ответите быстро — готово.
- Лягте спать вовремя. Усталость портит концентрацию сильнее любой ошибки.
Помните: ГМТ — это не страшная абстракция. Это удобный инструмент, который приносит лёгкие баллы. Владея короткими приёмами, вы сэкономите время на сложные задачи и поднимете итоговый результат.