Почему касательная снова и снова всплывает на ЕГЭ
Уравнение касательной давно входит в первую часть профильного ЕГЭ. Проверяющие любят тему. Она быстро отделяет уверенных ребят от тех, кто механически зубрит. Формула проста, но требует понимания производной, точек, графиков. В задаче часто нужно найти параметр или координаты. Ошибка в одном знаке рушит балл. Поэтому тренировка обязана быть системной. Хорошая новость: алгоритм стандартен, и его можно довести до автоматизма.
Формула касательной в двух строках
Пусть дана функция y = f(x). Берём точку x0. Производную обозначим f'(x0). Уравнение касательной записывается так: y = f'(x0)(x − x0) + f(x0). Всё. Главное помнить: f(x0) — это координата по y, а f'(x0) — угловой коэффициент. Формула справедлива при существовании производной. Если функции кусочные, важно брать верную ветвь. На ЕГЭ базовые задания чаще всего дают полные, гладкие функции. Однако иногда попадает модуль или дробь. Там нужно аккуратно проверять точки разрыва.
Чёткий алгоритм решения любого стандартного задания
- Читаем условие. Выявляем, что надо: уравнение линии, коэффициент, параметр.
- Находим производную функции общим методом или готовой таблицей.
- Подставляем координату x0. Сразу вычисляем f(x0) и f'(x0).
- Записываем уравнение в форме y = k(x − x0) + y0.
- При упоминании параметра решаем полученное простое уравнение.
- Проверяем область определения и условие касания, если оно есть.
- Приводим ответ к требуемому виду: Ax + By + C = 0 или y = kx + b.
Следуя этим шагам, вы не запутаетесь даже при волнении. Совет: держите в черновике табличку производных тригонометрических, показательных и логарифмических функций. Это экономит время.
Базовый пример с полным разбором
Пусть дана функция f(x) = x3 − 6x. Найти уравнение касательной в точке с абсциссой 2. Выполняем алгоритм. Первое: производная f'(x) = 3x2 − 6. Второе: f'(2) = 3·4 − 6 = 6. Третье: f(2) = 8 − 12 = −4. Четвёртое: записываем касательную. y = 6(x − 2) − 4. Упрощаем: y = 6x − 12 − 4, значит y = 6x − 16. Ответ готов. Проверьте: подставим x = 2. Получаем y = −4, то есть касательная действительно проходит через точку (2; −4). Угловой коэффициент равен 6, что совпадает с производной. Ошибки нет.
Где школьники чаще всего спотыкаются
- Забывают вычислить f(x0) и подставляют только производную.
- Путают знак при раскрытии скобок.
- Берут производную неверно: особенно у логарифмов и сложных степеней.
- Не проверяют, существует ли производная в точке. Пример: модуль.
- Пишут ответ без преобразований, хотя условие требует общий вид.
- Невнимательно читают слово «параллельна» или «перпендикулярна». Там другой коэффициент.
Избежать ошибок помогает медленная проверка в конце решения. Оставьте две минуты на сверку.
Набор тренировочных заданий для самостоятельной практики
Ниже приведены функции и точки. Попробуйте вывести касательные. Ответы можно сверить с решебником или учителем.
- y = ex + x, точка x = 0.
- y = ln(2x + 1), точка x = 2.
- y = √(x2 + 1), точка x = 3.
- y = sin x − x cos x, точка x = π.
- y = (x − 1)/(x + 1), точка x = 0.
Решайте с таймером. На реальном экзамене у вас около четырёх минут на задание. Чем быстрее найдёте производную, тем выше шанс на идеальную работу.
Полезные источники для углубления темы
Открытые банки заданий ФИПИ содержат десятки позиций с касательными. Там же есть решения. Видеоуроки опытных педагогов на YouTube помогают закреплять алгоритм. Сайты с интерактивной графикой, например Desmos, позволяют визуально проверить касание. Методфига.ру и Решу ЕГЭ тоже пригодятся. Если же нужна системная программа с куратором, запишитесь на курс подготовки к ЕГЭ в онлайн школе EL-ED. Живые вебинары и домашка с проверкой ускоряют рост результатов.
Как сохранить форму до самого экзамена
Три совета. Первый: решайте один вариант каждую неделю. Второй: ведите таблицу ошибок. Записывайте, что пошло не так, и почему. Третий: имитируйте стресс. Ставьте будильник, убирайте телефон, решайте на чистовик. После проверки пишите исправления той же ручкой. Мозг лучше запоминает.
Последний чек-лист перед выходом из аудитории
- Проверьте, что писали не карандашом.
- Ответ выписан в бланк без лишних символов.
- Все коэффициенты целые? Если дробные, сокращены ли?
- Точка касания действительно принадлежит графику.
- Производная в точке существует.
- Формула преобразована аккуратно, знаки ясны.
- Черновик не содержит важных чисел, которых нет в бланке.
Следуя чек-листу, вы снижаете риск потери баллов из-за мелочей. Удачи на экзамене!