Зачем разбирать двойной угол при подготовке
К ЕГЭ по математике профиль вместе готовящихся ребят часто пугает тема «двойной угол». Однако именно она быстро раскрывает логику тригонометрии и экономит время на экзамене. Раз вложив силы, школьник потом применяет формулы автоматически. К тому же задания с этой конструкцией встречаются сразу в нескольких номерах профильного варианта. Значит, изучение темы приносит заметный прирост баллов при минимальных затратах.
Важную роль играет и психологический эффект. Когда ученик видит знакомое выражение sin2x или cos2x, тревога снижается. Уверенность повышает скорость, а скорость позволяет перепроверить другие пункты. Поэтому разбор темы полезен не только с академической, но и с эмоциональной стороны.
Базовые формулы и их доказание
Начать стоит с трёх главных равенств: sin2x = 2sinx cosx, cos2x = cos²x − sin²x и tan2x = 2tanx / (1 − tan²x). Запоминать их без понимания бессмысленно. Нужно вывести каждое равенство из формулы суммы. Для синуса используем sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb, затем кладём a = b = x. Получаем sin2x. Аналогично поступаем с косинусом, а для тангенса берём отношение соответствующих выражений.
После вывода рекомендуем проверить формулы на простых углах: 30°, 45°, 60°. Подставьте x = 45°: sin2x = sin90° = 1, а правая часть даёт 2·√2 / 2·√2 / 2 = 1. Проверка укрепляет довериe к полученному правилу и учит замечать смысловое соответствие.
Двойной угол в задачах профиля
Однотипных номеров в кимах нет, но структура часто повторяется. В части 2 нередко просят упростить выражение вроде cos²x − sin²x. Абитуриент, знающий тождество двойного угла, сразу пишет cos2x и избегает громоздких преобразований. Во второй части могут встречаться уравнения: sin2x = √3/2, cos2x = −1/2, tan2x = k. Тут важно помнить, что аргумент 2x меняет период. Значит, решений в промежутке [0; 2π) будет вдвое больше.
Некоторые заданные графики тоже удобно интерпретировать через двойной угол. Если видите параболу внутри тригонометрического графика, проверьте, не скрыт ли под ней cos2x. Такой прием часто сокращает чертеж почти наполовину.
Геометрический взгляд на двойной угол
Формула sin2x произошла не из алхимии. Рассмотрите единичную окружность. Центральный угол 2x делится хордой на два равных угла x. Площадь образованного сектора пропорциональна 2x, а площадь треугольника – sin2x / 2. Сравнив их, легче визуализировать коэффициент «2» перед произведением синуса и косинуса.
Косинус двойного угла тоже имеет геометрическую интерпретацию. Проекция радиус-вектора на ось абсцисс при угле 2x равна cos2x. Через теорему Пифагора выводятся альтернативные формы: cos2x = 1 − 2sin²x или 2cos²x − 1. Зная их, удобнее решать неравенства, где требуется оставить только одну тригонометрическую функцию.
Отработка алгебраических преобразований
Частая ошибка — преждевременное деление на cosx или sinx. Сначала лучше преобразовать выражение, а потом сокращать. Возьмём пример: (1 − cos2x) / sin2x. Подставим формулы: (1 − (1 − 2sin²x)) / 2sinx cosx = 2sin²x / 2sinx cosx = tanx. Минимум действий, ноль потерь баллов.
Другой приём: заменяйте высокие степени через двойной угол. sin⁴x можно выразить как (1 − cos2x)² / 4. После раскрытия получится сумма косинусов с двойным и четверным углом. Да, действий много, но итоговое выражение линейно по тригонометрической функции и легко интегрируется или упрощается.
Двойной угол в тригонометрических неравенствах
Неравенства часто пугают больше уравнений. Ключ — верно определить период функции. Возьмём cos2x ≥ 0. Решение cosθ ≥ 0 задаёт интервалы θ ∈ [−π/2 + 2πk; π/2 + 2πk]. Подставляем θ = 2x и делим всё на 2. Получаем промежутки x ∈ [−π/4 + πk; π/4 + πk]. Ученики, забывшие деление на 2, получают неверное число корней и теряют баллы.
Для неравенств вида tan2x < a используйте растяжение графика. Сначала найдите области, где tanθ < a, потом опять замените θ = 2x. Методы графика и интервалов работают, если помните новый период π/2.
Задачи с параметром и скрытый двойной угол
В части 3 часто прячут параметр под маской двойного угла. Например, уравнение sin2x = a допускает решение только при −1 ≤ a ≤ 1. Ученик сразу записывает ограничение на параметр, а затем решает основное уравнение. Второй тип — выражения вида sinx cosx = k. Умножьте обе части на 2 и получите sin2x = 2k. Далее стандартные рассуждения.
Похожий приём встречается в геометрии. Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними содержит sinγ. Если угол выражен как 2α, то мы фактически имеем синус двойного угла. Замена упрощает дальнейшие вычисления площади или высоты.
Типичные ловушки и как их обходить
Чтобы не допустить обидных ошибок, держите перед глазами короткий чек-лист:
- Не сокращайте на переменную функцию, пока не проверите, что она не равна нулю.
- Следите за переходом от 2x к x: период и количество корней меняются.
- При вычислении значения функции замените угол на радианы, если формула требует.
- Не забывайте альтернативные формы косинуса двойного угла, они часто красочно упрощают выражение.
- Всегда проверяйте полученные корни в исходном уравнении, особенно после деления.
Каждый пункт защищает от потери одного-двух первичных баллов, которые потом переводятся в пять-семь тестовых.
Пошаговый план на последние недели
Осталось мало времени? Действуйте по алгоритму:
Неделя 1. Повторите вывод формул двойного угла и решите 30 базовых уравнений. Неделя 2. Отберите 15 неравенств, где встречается sin2x или cos2x, и проработайте их. Неделя 3. Посвятите три дня задачам с параметром, остальное время — комбинированным номерам. Последние 5 дней разберите весь открытый банк ФИПИ, отмечая задачи со скрытым двойным углом. Пройдя путь, вы почувствуете уверенность и скорость.
Хотите поддержку и чёткий фидбэк? Онлайн школа подготовки к ЕГЭ предлагает интенсив, где каждое занятие завершается мини-экзаменом. Ошибки разбираются сразу, поэтому навыки закрепляются быстрее.
Главное — решайте ежедневно. Десять минут формул дают мало, зато два полноценных разбора задач включают мышление. В день экзамена вы вспомните не только равенства, но и короткие трюки, которые мы обсудили. Тогда двойной угол перестанет быть угрозой и превратится в надёжный инструмент.