Зачем профильнику понимать радиусы окружностей
Радиусы окружностей всплывают почти в каждой второй задаче профильного ЕГЭ, и именно на них ученики чаще всего теряют драгоценные баллы. Темы «Планиметрия» и «Стереометрия» подают окружность в разных ракурсах, однако принцип расчёта радиусов остаётся неизменным. Кто быстро определяет нужную формулу, тот экономит время и силы на экзамене. К тому же тема тесно связана с векторами, тригонометрией и даже производной: правильное владение формулами радиусов помогает увидеть неочевидную упрощённую модель.
Кроме прямой пользы в тестовой части, навык расчёта радиусов даёт гибкость в задачах 14 и 16, где часто нужно доказать равенство площадей или соотношение сторон. Умение одним взглядом выделять центр окружности и строить касательные создаёт уверенность, без которой трудно держать темп на реальном экзамене. Мы пройдём по основным типам задач, обратим внимание на ошибки и потренируемся решать примеры с разной степенью сложности.
Базовые формулы: радиус вписанной окружности
Начнём с самых употребительных приёмов. Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен r = 2S / P, где S — площадь, а P — периметр. Простой вид формулы подкупает, однако часто забывается контекст: три угла должны касаться окружности, иначе выражение неприменимо. Проверяем условие — и только потом подставляем числа.
Для прямоугольного треугольника формула становится ещё компактнее: r = (a + b − c)/2, где c — гипотенуза. Её вывод строится на разрезании фигуры на три прямоугольника, что позволяет сделать промежуточные шаги в уме. Когда треугольник равносторонний, действует «золотая» пропорция: r = a√3 / 6. Ученики часто путают коэффициент 1/6 с 1/3; чтобы не сбиться, стоит запомнить, что в равностороннем треугольнике вписанный радиус всегда меньше половины высоты.
- Четырёхугольник вписывает окружность, если суммы противоположных сторон равны.
- Тогда r = 2S / (a + b + c + d); без равенства сторон формула не работает.
Касательная и внешний радиус
Наружная окружность треугольника имеет радиус R = abc / 4S. Запоминать громоздкую дробь трудно, зато её легко получить из правила синусов: a / sin α = 2R. Зная одну сторону и противолежащий угол, вычисляем R за пару секунд. В прямоугольном треугольнике всё ещё проще: гипотенуза сразу даёт диаметр, то есть R = c / 2. Этот факт экономит время, особенно когда нужно доказать, что точка лежит на описанной окружности.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Правило звучит банально, но на экзамене спасает от ошибок при поиске прямых углов. При решении сложных построений полезно помнить теорему о мощности точки: если внутренняя и внешняя хорды исходят из одной точки, произведение отрезков внутренних частей равно произведению отрезков внешних. Многие задачи на радиусы сводятся к этой теореме через один-два хода.
Радиусы окружностей в треугольниках
Здесь появляются искушающие сокращения. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности выражается через высоту: r = (h − r) превращается в квадратное уравнение, которое удобно решать по теореме Виета. Однако можно запомнить готовый результат: r = (a − c) / 2 только при условии, что a — боковая сторона, c — основание. Проверяем равнобедренность и не ловимся на симметрию, когда основание равно боковой.
Часто спрашивают связь r и R. Главное соотношение — формула Эйлера: d² = R(R − 2r), где d — расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. Если три окружности касаются друг друга, появляется аполлонова задача. Там радиусы находят через обратное отношение: 1/r = 1/r₁ + 1/r₂ ± 2√(1/r₁r₂). Под знаком «плюс» — внешний контакт, под «минус» — внутренний. Учим формулу один раз и используем во всех задачах с цепочками окружностей.
Задачи с несколькими окружностями
В профильных вариантах любят конфигурации «круг в круге». Например, внутренние круги касаются друг друга и внешней окружности. Чтобы найти их радиус, достаём формулу Декарта. Однако есть трюк: если круги равны, диаметр большего делится радиусом меньшего в отношении (1 + √2). Помнить так: число «корень из двух» часто выскакивает там, где присутствует квадрат. В похожих задачах на комбинацию квадрат-окружность радиус вписанного круга в квадрат со стороной a очевиден — a/2. Но когда квадрат вписан в окружность, радиус уже a√2 / 2. Не путаем сценарии, чтобы не удвоить или не сократить величину лишний раз.
Ещё одно популярное построение — гирлянда тангенциальных кругов под наклонной прямой. Радиусы образуют геометрическую прогрессию, а сумма их успевает сойтись. Идея в том, что следующий радиус равен k предыдущего, где k = (1 − sin θ)/(1 + sin θ). Всего одна тригонометрическая вставка превращает сложное решение в две строки.
Частые ошибки и ловушки
Первый тип ошибки — подстановка площади, найденной неверно. Ученики путают формулы Герона и треугольника по высоте. Вычисляя площадь через основание и высоту, обязательно проверяем, что высота относится к выбранному основанию. Второй тип ошибки — игнорирование факта касания. Если окружность только описана, а не вписана, формула 2S/P не работает. Третий тип — автоматическая подстановка углов без перехода к радианам в производной. Хотя ЕГЭ не требует глубокого анализа функций, задачи 12 иногда заставляют соединять планиметрию и анализ. Будьте внимательны.
Отдельный блок ловушек связан с обозначениями. В условии могут фигурировать одинаковые буквы для разных отрезков. Решайте задачу на черновике, каждому числу присваивайте яркую метку: цвет, индекс, дополнительное примечание. Так вы не перепутаете радиус описанной окружности треугольника с аналогичным символом в другой фигуре.
Мини-тренажёр: пять примеров для самостоятельной проверки
- В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8, 10 вписана окружность. Найдите её радиус.
- Около равностороннего треугольника со стороной 9 описан круг. Сколько сантиметров длина радиуса?
- Две равные окружности касаются внешней окружности радиуса 7 и друг друга. Определите радиус маленьких окружностей.
- К окружности радиуса 5 проведена касательная из точки, лежащей на расстоянии 13 от центра. Найдите длину касательной.
- Квадрат вписан в окружность радиуса 4. Каков радиус окружности, вписанной в этот квадрат?
Проверьте ответы: 2, 3√3, 3, 12, 2√2. Если нашли несоответствия, вернитесь к формулам и уточните шаги.
Как ускорить подготовку и закрепить тему
Разбирать только теорию мало: рука должна автоматизировать вычисления. Составьте личный спринт — решайте десять задач на радиусы каждое утро. Через неделю вы начнёте видеть нужную формулу без подсказок. Чтобы не тратить время на поиск качественных материалов, пользуйтесь проверенными курсами. Например, онлайн курс подготовки к ЕГЭ систематизирует теорию, даёт интерактивные тренажёры и проверку решений опытными наставниками. Погружение происходит в формате «сначала концепт, потом моментальная практика», что позволяет закрепить навык сразу.
Не забывайте о старых вариантах ФИПИ. Отберитесь за последние пять лет, выпишите все задачи, где встречается окружность, и решайте по два-три номера во время перерыва между предметами. Такой микродозинг лучше удерживает форму, чем редкие длинные сессии. Завершите неделю самоконтролем — решите полный вариант на время и отследите, сколько минут ушло на каждую задачу с окружностями. Через месяц вы заметите снижение среднего времени минимум на треть.