Зачем школьнику знать интегралы на ЕГЭ
Слова «неопределённый интеграл» нередко пугают выпускников, однако зря. Задание 12 профильного ЕГЭ стабильно проверяет умение брать интегралы функций школьного курса. Балл за него один, но без него сложнее получить высокий результат. Кроме чистой математики, тема тренирует аналитическое мышление. Решая интегралы, ученик учится замечать структуру выражения, грамотно упрощать и оценивать ответ.
Экзаменаторы не требуют университетской глубины. Достаточно владеть набором базовых приёмов и знать три-четыре стандартные формы. При этом ошибка в знаке или забытая «+C» обнулит труды. Потому важно выработать пошаговый алгоритм проверки. В статье рассмотрим этот алгоритм и разберём типовые ловушки.
Минимальный набор формул
Школьной формулы для интеграла достаточно трёх групп. Первая группа: элементарные степени. Вторая: тригонометрия. Третья: экспонента и логарифм. Из справочных материалов перечислено следующее:
- ∫xndx = xn+1/(n+1) + C, n ≠ –1;
- ∫dx/x = ln|x| + C;
- ∫exdx = ex + C;
- ∫sin x dx = –cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C.
К ним добавьте два следствия: ∫k dx = kx + C и ∫0 dx = C. Многие задачи сводятся лишь к линейной комбинации этих формул. Ученику полезно иметь отдельную карточку и повторять её перед тренировочными вариантами. Обязательно следите, чтобы коэффициенты числителя и аргумента учитывались корректно: пропущенный множитель мгновенно превращает правильное решение в неверный результат.
Неопределённый интеграл: база операций
Любой неопределённый интеграл можно рассматривать как обратную операцию к дифференцированию. В школьном курсе выделяют три базовых действия: вынесение константы, разложение суммы и обратную проверку через производную. Алгоритм прост. Сначала упрощаем выражение алгебраически. Затем ищем знакомую форму. В конце добавляем константу интегрирования. После получения ответа советую проверить себя: дифференцируйте результат. Если исходная функция восстанавливается, ответ верен.
Распространённая ошибка возникает, когда ученик забывает про общий множитель или сокращает дробь уже после интегрирования. Делайте все упрощения до знака «∫». Тогда вероятность опечатки резко падает. Ещё один приём — подчёркивание внутренней функции. Он помогает увидеть, какую подстановку стоит сделать, а какую — нет.
Разбор типовых задач
Организаторы ЕГЭ придерживаются закрытого банка, но модели заданий повторяются годами. Чаще всего встречаются:
- полином умножается на простую степень x;
- комбинация sin и cos со сдвигом аргумента;
- дробь, где числитель — производная знаменателя;
- ekx с коэффициентом в показателе.
Например, ∫(3x2–2x+1)dx решается буквально за полминуты. А вот ∫(2x)/(x2+1)dx требует замечать связь числителя и знаменателя. Тут помогает метод замены: положим t = x2+1, dt = 2x dx. Интеграл превращается в ∫dt/t = ln|t|+C. Возврат к переменной даёт готовый ответ. Похожая логика позволяет легко обработать ∫cos3x dx; достаточно знать, что внутренняя производная равна 3.
Метод подстановки без пугающих формул
Метод подстановки иногда называют «заменой переменной». Суть: заменить сложную часть функцией t, сократив интеграл до базового вида. Школьнику важно соблюдать два шага. Сначала выбираем t так, чтобы её дифференциал появлялся в остатке. Затем возвращаемся к x. Пример: ∫sin(5x)dx. Берём t=5x. Получаем (1/5)∫sin t dt. Интеграл сразу считается, а множитель 1/5 выходит за знак. Ошибка учеников — забытый коэффициент 1/5. Проверка производной в конце решает проблему.
Не стоит усложнять: если после подстановки задача не стала проще, замену выбрали неудачно. Потренируйтесь на пяти-шести упражнениях, и метод станет автоматическим.
Метод интегрирования по частям
Правило по частям выводится из производной произведения. В ЕГЭ встречается редко, но знать его нужно. Формула: ∫u dv = uv – ∫v du. Работает, когда функция распадается на «простую» и «хорошо дифференцируемую». Типовой пример: ∫x ex dx. Выбираем u = x, dv = ex dx. Тогда du = dx, v = ex. Получаем x ex – ∫ex dx = x ex – ex + C. Правильный выбор u и dv решает всё. Если интеграл стал сложнее, значит роли перепутали. Для тренировки берите пары «многочлен и экспонента» либо «многочлен и логарифм».
Частые ловушки и проверочные лайфхаки
На экзамене время ограничено. Чтобы не терять баллы, заранее знайте типовые ловушки. Первая — забытая константа. Решение проверяйте снизу вверх: ответ, деривация, исходный интеграл. Вторая — проигнорированный модуль при логарифме. Всегда пишем ln|x|. Третья — невынесенный коэффициент. Если в выражении 7sin x, семёрка выходит за знак. Четвёртая — поспешная рационализация. Не сокращайте дробь после знака интеграла, делайте это раньше.
Лайфхаки просты. Делите страницу пополам: слева черновик, справа итог. Отдельная строчка для «+C». Ставьте галочки напротив проверенных строк. Придумайте личный чек-лист из трёх пунктов и проходите его перед занесением ответа в бланк.
План подготовки и полезные ресурсы
Начать стоит за два месяца до экзамена. Первые две недели — повтор формул и решение базовых номеров. Далее переключайтесь на задания из реальных вариантов. Раз в неделю решайте полный вариант на время. После каждой работы анализируйте ошибки и пополняйте личный чек-лист. Один день оставляйте для отработки методов подстановки и по частям, чтобы набить руку.
Если нужна системная поддержка, рассмотрите онлайн школу «Эльбрус»: курс подготовки к ЕГЭ поможет держать темп и получать обратную связь. Плюс платформы — интерактивные разборы и быстрые ответы преподавателей.
Из бесплатных источников подходят: открытый банк ФИПИ, сборники Ященко последних лет и канал МГУ «Maths for school». Выбирайте два-три ресурса и учитесь регулярно. Тогда любая формула, включая неопределённый интеграл, станет привычной и предсказуемой, а нужный балл окажется реальностью.