Почему тема экстремумов решающая
Экзамен любит функции. Практически каждый год есть задача на максимум или минимум. Без уверенного метода теряешь до девяти первичных баллов. Экстремумы встречаются в двух частях КИМа. В первой части это тестовые пункты 8 и 9. Во второй части – задания 12 и 15. Поэтому тема влияет на итоговый балл сильнее, чем кажется. Умение быстро искать вершины графика экономит время. А ещё позволяет проверять ответы по графическому смыслу.
Ключевая идея: производная и критические точки
Сначала вспоминаем определение. Критическая точка – это где производная равна нулю или не существует. Если функция непрерывна, такие точки дают кандидатов на экстремум. Значение производной показывает рост или спад. Когда знак меняется, появляется максимум или минимум. Этот факт строго вытекает из теоремы Ферма и правила Лагранжа. Но для ЕГЭ достаточно помнить: равенство нулю – повод остановиться и проверить.
Пример. Пусть f(x)=x²−4x+1. Производная равна 2x−4. Ставим её ноль, получаем x=2. Проводим таблицу знаков: слева минус, справа плюс. Знак меняется от минуса к плюсу, значит минимум. Значение функции в точке равно −3. Всё.
Условия существования и классификация
Не все критические точки дают экстремум. Нужно изменение знака. Второе условие – функция должна быть непрерывна в точке. Для рациональных выражений это просто проверяется. Для модулей и корней важно убеждаться, что подкоренное неотрицательно. Существует три исхода:
- Знак меняется с плюса на минус – максимум.
- С минуса на плюс – минимум.
- Знак не меняется – точка перегиба или плато.
Иногда удобнее вторая производная. Если f”(a)<0, то максимум, если >0, то минимум. Но метод работает, когда вторая производная существует. В задачах ЕГЭ чаще хватает первой производной и таблицы.
Пошаговый алгоритм для экзамена
Сформулируем план в семь коротких действий:
- Записать функцию ясно.
- Найти область определения.
- Вычислить первую производную.
- Приравнять её к нулю, добавить точки разрыва.
- Сделать таблицу: интервалы и знаки производной.
- Определить экстремумы и их вид.
- Посчитать значения функции в найденных точках.
Таблица экономит время и снижает риск. В бланке ответов часто просят только координаты точек. Но лучше указывать и тип: «минимум» или «максимум». Это добавит баллы во второй части.
Типовые задания из тестовой части
В номерах 8–9 нужно выбрать верное утверждение. Пример: «У функции g(x)=3x⁴−4x³ есть локальный максимум при x=1». Мы берём производную 12x³−12x², сокращаем, решаем 12x²(x−1)=0. Точки 0 и 1. Строим таблицу. Между 0 и 1 знак минус, после 1 плюс. Значит при x=1 минимум. Утверждение ложное. Решение занимает две минуты.
Номер 9 иногда спрашивает наибольшее значение на отрезке. Здесь добавляем концы отрезка к критическим точкам. Считаем значения, выбираем максимум. Секрет – чёткая запись. Ошибка в табличке – минус весь балл.
Продвинутые задачи из части 2
Задача 12 просит найти точки экстремума аналитически и доказать вид. Ценится логика и строгий язык. Желательно ссылаться на теорему Ферма. В бланке решения пишем: «f'(x)=0 ⇒ x=a». Затем: «f'(x) меняет знак с + на −, следовательно максимум». Без этой фразы баллы урежут.
В задаче 15 может стоять параметр. Пример: f(x)=x³−3px²+2p²x. Производная 3x²−6px+2p². Делим на общие множители, решаем квадратное уравнение. Дискриминант равен 36p²−24p²=12p². Корни x₁,₂=(6p±√12p)/6. Анализируем знаки. Часто нужно добиться, чтобы максимум был равен заданному числу. Это увеличивает алгебру, но принцип один.
Распространённые ошибки и лайфхаки
Первая ошибка – пропуск точек разрыва. Если функция дробная, знаменатель ноль исключаем. Вторая ошибка – забытый конец отрезка. На границе может быть экстремум по глобальному смыслу. Третья ошибка – невнятная таблица знаков. Эксперт не обязан догадываться.
Лайфхаки:
- Сначала упрощайте выражение, иначе derivative станет чудовищной.
- Скобки пишите крупно, проверяйте знаки.
- Для модуля используйте разбиение на случаи. Так проще.
- Скриньте график в голове: так ловятся нелепые промахи.
И помните: тренировка решает. Чем больше задач, тем выше скорость.
Мини-тренировка и полезные ресурсы
Попробуйте прямо сейчас. Найдите экстремумы функции h(x)=x⁴−4x²+1. Производная 4x³−8x. Ставим ноль: 4x(x²−2)=0. Точки 0, √2, −√2. Таблица знаков покажет, что x=0 – максимум, остальные два – минимумы. Значения функции легко вычислить. Сверьте с графиком в «Desmos» и убедитесь.
Ресурсы для дальнейшей работы:
- Открытый банк ФИПИ. Там реальные прототипы.
- Сборник Ященко «30 вариантов». Хорош для тайминга.
- Видеоуроки Ларина по производной. Кратко и по делу.
- Онлайн школа подготовки к ЕГЭ с живыми вебинарами по каждой теме.
Разберите по одной задаче ежедневно, и к маю тема станет рутиной. Ваш путь «с нуля до 90+» вполне реален. Удачи на экзамене!