Школа ЕГЭ: математика профиль — расстояние до прямой

Фраза «Школа ЕГЭ: математика профиль — расстояние до прямой» звучит пугающе, но сама тема проста, если разобрать её на части. Мы поговорим о том, что означает это расстояние, как вывести нужную формулу и где она оказывается решающей на экзамене. В статье не будет сухого перечисления правил. Будут примеры, приёмы и подсказки, проверенные на сотнях задач.

Что скрывается за формулой расстояния до прямой

Начнём с основной картинки. Пусть на координатной плоскости лежит точка M с координатами (x₀, y₀). Есть прямая вида Ax + By + C = 0. Расстояние между точкой и прямой равно модулю выражения Ax₀ + By₀ + C, делённому на корень из A² + B². Формулу легко запомнить, но важно понять, зачем нужен знаменатель. Вектор (A, B) перпендикулярен прямой. Его длина не всегда равна единице, поэтому приходится делить, чтобы получить настоящую дистанцию. Если сделать коэффициенты целыми и сократить махинации, ученик быстрее проверит вычисления.

В школьном курсе встречаются альтернативы. Можно опустить перпендикуляр из M и искать расстояние через площадь треугольника. Пригодится детский факт: площадь равна половине произведения основания на высоту. Основанием выступает отрезок между двумя точками на прямой, а высота и есть искомая величина. Метод громоздкий, но иллюстрирует связь алгебры и геометрии.

Задачи ЕГЭ, в которых без расстояния до прямой никуда

Первая группа относится к 14-му профилю — планиметрии. Часто дают трапецию или треугольник с заданными вершинами. Нужно найти высоту, медиану или периметр. Второй блок примеров появляется в 16-м задании, где жилые дома и дороги заменяют прямые и точки. Нужно определить минимальную длину кабеля или путь доставки. Наконец, в 18-м параметрическом номере дистанция служит критерием для неравенства, когда точка бегает по плоскости.

Эксперты любят скрывать расстояние за словами «короче, чем», «не ближе, чем». Если школьник сразу видит формулу, он отбрасывает текстовую шелуху и пишет нужное уравнение.

Геометрический смысл: от координат до компаса

Вообразим, что мы строим площадку под вышку связи. Вдоль шоссе проходит прямая, а координаты станции заданы GPS. Требуется узнать, хватит ли радиуса покрытия 200 м. Мы берём Ax + By + C = 0 для линии шоссе, подставляем координаты станции и сразу получаем строгий ответ. Модель та же самая, что в учебнике, но пример живой.

Важно увидеть: расстояние не зависит от конкретной точки на прямой, только от нормали. Поэтому иногда проще повернуть всю систему, приравнять коэффициент B к нулю и считать устно. Такой трюк отлично экономит время на черновике.

Алгебраический вывод на пальцах: шаг за шагом

Берём точку M. Записываем нормальный вектор n = (A, B). Строим прямую, проходящую через M и параллельную n. Параллельность означает, что A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0. Пересечение этой прямой с исходной Ax + By + C = 0 даст точку H. Решаем систему двух уравнений — получаем H. Далее используем формулу длины отрезка MH. После сокращений выходит знакомая дробь. Весь вывод занимает три-четыре строки, и ученик не теряет нити, потому что каждый переход логичен.

Если коэффициенты A и B имеют общий делитель, сначала стоит поделить их. Длина нормали станет короче, вычисления упростятся. Ошибка здесь приносит лишний корень в знаменатель, что легко заметить при проверке.

Типичные ловушки и как их обойти

Нули в коэффициентах. Если A или B равно нулю, одноклассники путаются. Напомните: Ax + By + C = 0 всё ещё описывает прямую, просто горизонтальную или вертикальную.
Забытый модуль. При вычислении числителя всегда берите модуль. В противном случае получится отрицательное расстояние, что абсурд.
Неверный порядок действий. Сначала подставьте точку, затем берите модуль, потом делите. Обычно путают последний шаг.
Слишком раннее округление. Числа с корнями оставляйте до финального ответа, иначе девять десятых ошибается на последнем знаке.

Соблюдение этих простых правил снижает риск обидного минуса в протоколе.

Мини-тренажёр: три уровня одной идеи

Базовый уровень: точка (3, −2), прямая 2x − y − 7 = 0. Ответ выходит 4. Средний уровень: точка (−1, 5) и прямая 3x + 4y + 12 = 0. Дистанция 5. Продвинутый уровень: найдите все значения t, при которых расстояние от точки (t, 2t) до прямой 5x − 12y + k = 0 меньше 7. Вы получаете модульное неравенство и сразу тренируете параметр. Разберите его дома, сравните решение с официальным сборником.

Записаться на полный курс подготовки к ЕГЭ можно в онлайн школе El-Ed.

За рамками плоскости: как пригодится в параметрах

Во многих 18-х задачах точка P(t) движется по параболе. Чаще всего спрашивают, при каких t расстояние до фиксированной прямой не превышает значения d. Алгоритм тот же, но появится квадратное неравенство. Решив его, вы получаете диапазон t, который легко нанести на числовую ось. Иногда меняют роли: прямая зависит от параметра, а точка остаётся постоянной. Проверяйте, чтоб в знаменателе не стоял ноль. Это условие сразу даёт один из ответов эксперта.

Следующий шаг: системная подготовка и план повтора

Чтобы довести тему до автоматизма, создайте личную коллекцию из пятидесяти задач, разбитых по сложности. Решайте десяток через день, пока не уйдёт страх перед большими коэффициентами. Далее переходите к пробникам: включайте часы и ограничивайте себя шестью минутами на каждое вычисление. После проверки фиксируйте ошибки в отдельную тетрадь, перечитывайте её еженедельно.

Сформируйте чек-лист: упрощён ли коэффициентный набор, взят ли модуль, записан ли окончательный ответ без лишних корней. Пробежка по этому списку перед финальным переносом на бланк спасает баллы. А последний совет прост: не бойтесь чертить. Один быстрый перпендикуляр на клетчатом черновике часто открывает решение быстрее любой формулы.