Почему без теоремы косинусов на ЕГЭ не обойтись
Теорема косинусов сразу выручает, когда прямого угла в условии нет, а стороны известны частично. На профильном ЕГЭ такие ситуации встречаются почти в каждой второй геометрической задаче. Например, требуется найти расстояние между вершинами трапеции или диагональ ромба, где углы даны косвенно. Синус здесь не помогает, а классическая теорема Пифагора не работает. Кроме того, формула связывает три стороны и угол так же надёжно, как уравнение, поэтому позволяет перейти от геометрии к алгебре: достаточно подставить числа и аккуратно вычислить. Экзаменационное время экономится, ведь один-два хода заменяют длинные цепочки дополнительных построений. Чем увереннее вы владеете приёмом, тем меньше вероятность свалиться в бессмысленный подбор или догадки. Именно поэтому наставники советуют натренировать этот инструмент раньше остальных.
Теорема косинусов: формула и геометрический смысл
В произвольном треугольнике со сторонами a, b, c и углом γ напротив стороны c справедливо: c² = a² + b² − 2ab cos γ. Формула выглядит как расширенная версия Пифагора. Если γ равен 90°, то косинус обнуляется, и мы получаем знакомое a² + b² = c². Геометрический смысл прост: член −2ab cos γ корректирует базовую сумму квадратов, учитывая отклонение угла от прямого. Когда угол острый, косинус положителен, поэтому c становится короче, чем диагональ в прямом треугольнике с теми же катетами. Если угол тупой, косинус отрицателен, и сторона удлиняется. Такое понимание помогает быстро проверить результат на здравый смысл: вычислили сторону, сравните её с суммой других двух. Значение должно попадать между их разницей и суммой. Не попало — значит, где-то ошибка.
Вывод формулы через скалярное произведение
Один из лучших способов запомнить закон — вывести его самостоятельно. Рассмотрим векторы AB и AC треугольника ABC. Скалярное произведение равно |AB|·|AC|·cos γ. С другой стороны, по алгебраическому определению, (AB, AC) = (AC − AB, AC) = AC² − AB·AC. После раскрытия получаем: AB² + AC² − 2·AB·AC·cos γ = BC². Переставляем члены и узнаём классическую форму. Такой вывод показывает связь темы с векторной алгеброй, часто встречающейся во второй части ЕГЭ. Он также объясняет, почему формула работает в трёхмерном пространстве без изменений: скалярное произведение не зависит от размерности. Если вы уверенно владеете векторами, доказательство займёт минуту и укрепит память лучше любого заучивания.
Типовые задачи первой части
В тестовой части главное — быстрота. Здесь чаще всего просят:
- Найти сторону, если известны две соседние и угол между ними.
- Определить угол по трём сторонам.
- Выявить равнобедренность, сравнив вычисленные стороны.
Все три задачи сводятся к одной подстановке. Допустим, AB = 7, AC = 5, угол A = 60°. Подставляем: BC² = 7² + 5² − 2·7·5·cos 60° = 49 + 25 − 70·0.5 = 39. Отсюда BC ≈ 6.24. Цифры округляются до сотых или десятых по требованию задания. Проверка логична: сторона получилась меньше суммы остальных и больше их разности. Второй популярный тип — обратное вычисление угла. Пишем cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab), считаем, затем берём арккос. В большинстве номеров ответ записывается в градусах, поэтому не забывайте перевести радианы, если применяете инженерный калькулятор.
Подвохи во второй части
Здесь авторы любят соединять несколько фигур, вводить дополнительные точки или параметрическую зависимость. Частый приём: сторона выражается через x, другая через 2x + 3, угол задан алгебраическим уравнением. После применения теоремы косинусов возникает квадратное уравнение, и вам нужно выбрать положительное решение, подходящее геометрии. Второй подвох — скрытый прямой угол. Ученики, увлекшись универсальной формулой, забывают, что при 90° она упрощается. Если вы сразу увидели прямой угол, не усложняйте задачу. Третий трюк: угол берут внешний. Не ошибитесь в знаке: внешний угол равен 180° − внутренний, поэтому косинус меняет знак. Лишний минус часто выводит ответ далеко за разумные пределы.
Работа с трёхмерными задачами
В пространстве формула сохраняет вид, меняется лишь подход к углу: он берётся между рёбрами или диагоналями. Пример из ЕГЭ: найдите длину диагонали вытянутого параллелепипеда со рёбрами 3, 4 и 12, если угол между диагональю основания и боковым ребром равен 60°. Сначала вычисляем диагональ основания: d = √(3² + 4²) = 5. Далее применяем теорему косинусов к треугольнику, образованному этой диагональю, боковым ребром и пространственной диагональю D: D² = 5² + 12² − 2·5·12·cos 60° = 25 + 144 − 60 = 109, значит D ≈ 10.44. Пространственная формулировка выглядит страшно, но решение укладывается в две строки при чётком алгоритме. Важно правильно выбрать треугольник, иначе можно потерять нужный угол.
Как встроить теорему в полноценное решение
Иногда одной формулы мало, и приходится комбинировать её с синусом, площадью или подобием. Например, в треугольнике ABC проведена медиана AM. Необходимо найти сторону BC, если AB и AC даны, а угол между ними известен. Сначала выражаем BM и MC как половины BC. Потом применяем теорему косинусов к треугольникам ABM и ACM. Получаем систему двух уравнений, из которой легко вывести BC. Аналогично работают биссектриса и высота: после разбиения исходного треугольника приходится дважды записывать формулу, но стороны упрощаются. Это типичная стратегия заданий 16 и 18 на профильном ЕГЭ. Тренируйтесь раскладывать сложную фигуру на удобные треугольники, а потом последовательно применять закон косинусов к каждому.
Проверочный чек-лист перед экзаменом
- Знаю формулу и могу вывести её за минуту.
- Умею быстро считать косинус стандартных углов.
- Понимаю геометрический диапазон: сторона лежит между разностью и суммой двух других.
- Отличаю внешний угол от внутреннего.
- Не путаю квадрат стороны и саму сторону при записи ответа.
- Распознаю скрытый прямой угол и использую Пифагор вместо общей формулы.
- В пространственных задачах правильно выбираю треугольник.
- Контролирую знаки при переносе членов уравнения.
- Проверяю ответы быстрой оценкой размеров.
Отметьте галочкой каждый пункт. Если всё выполнено, теорема косинусов больше не вызовет паники, а задачи любой части станут привычной тренировкой на скорость и аккуратность.