Зачем нужна касательная на ЕГЭ
Касательная всплывает в каждом втором варианте профильного ЕГЭ. Задания 7, 12 и 18 часто проверяют владение этой темой. Умение быстро вывести уравнение прямой экономит время и нервы. Кроме того, сама процедура учит работать с производной, а это фундамент всего раздела «Математический анализ». Если научиться решать такие задачи механически, то высвободите лишние минуты для параметров и стереометрии.
Базовые понятия
Сначала уточним терминологию. Функция y = f(x) задаёт график. Производная fʼ(x) показывает скорость изменения функции в точке. Касательная — это прямая, которая «слегка касается» кривой в выбранной точке и имеет тот же наклон. Её формула такова:
y = fʼ(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
Точка (x₀, f(x₀)) принадлежит и графику, и касательной. Коэффициент наклона равен значению производной в этой точке. Если производная равна нулю, касательная горизонтальна. Если производная не существует, касательной нет, но может быть вертикальная ось или излом. На ЕГЭ такие тонкости встречаются редко, но понимать их нужно.
Как найти производную точки касания
Сначала вычислите саму производную общего вида. Подставьте нужный абсцисс x₀. Можно идти и обратно: если известен наклон, решите уравнение fʼ(x) = k, где k — требуемый коэффициент. Полезно помнить таблицу производных:
- (xⁿ)ʼ = n·xⁿ⁻¹
- (sin x)ʼ = cos x
- (cos x)ʼ = −sin x
- (eˣ)ʼ = eˣ
- (ln x)ʼ = 1/x
Сложные выражения разбивайте на простые, применяя правило суммы, произведения и цепное правило. Если попался модуль, раскрывайте его по определениям. Проверяйте, чтобы точка касания лежала в области определения. На экзамене за это тоже снимают баллы.
Алгоритм решения задач
Чёткий порядок действий снижает риск ошибок. Придерживайтесь пяти шагов.
- Найдите f(x) и уточните область определения.
- Вычислите производную fʼ(x).
- Подставьте x₀ или найдите его, если дан наклон.
- Найдите ординату точки касания y₀ = f(x₀).
- Запишите формулу касательной: y − y₀ = fʼ(x₀)(x − x₀).
После записи преобразуйте уравнение к понравившемуся виду: общему, отрезкам, угловому. Ошибка в преобразовании стоит дорогих баллов, поэтому не делайте лишних шагов. Иногда проще оставить точечную форму.
Типичные ошибки
Ошибок мало, но каждая губит задачу.
- Забыли проверить, что точка входит в область определения.
- Спутали абсциссу и ординату. Подставили не туда.
- Слепо раскрыли модуль и потеряли знак.
- Обозвали параметр постоянной. В итоге наклон получился неверным.
- Ошиблись в арифметике при упрощении прямой.
Будет полезно завести чек-лист и прогонять каждый пример. В условии «график функции» вместо явной формулы нужно читать координаты по рисунку. Тогда производная — это тангенс угла наклона. Там легко перепутать клетки: считайте шаги сетки.
Пример задания с полным разбором
Задача. Найдите уравнение касательной к графику функции y = x³ − 3x² + 4 в точке с абсциссой 2.
Решение.
- Производная: fʼ(x) = 3x² − 6x.
- Подставляем x₀ = 2: fʼ(2) = 3·4 − 12 = 12 − 12 = 0. Наклон равен нулю.
- Находим ординату: f(2) = 8 − 12 + 4 = 0. Точка касания (2; 0).
- Формула касательной: y − 0 = 0·(x − 2), то есть y = 0.
Получилась горизонтальная линия. Проверяем: подставляя x = 2 в исходную функцию, снова выходит 0. Всё сходится. Задача занимает меньше минуты, если алгоритм отточен.
Технологии тренировки
Для закрепления навыка решайте по 10 задач ежедневно. Используйте скрипты на Geogebra: они рисуют график и касательную, показывая ошибки визуально. В тетради фиксируйте только финальную прямую и точку. Ещё один лайфхак — карточки с функциями. На лицевой стороне — формула, на обратной — производная и два контрольных значения. Достали, проверили, спрятали. Такой метод помогает мышцам памяти.
Онлайн-тренажёры дают бесконечный поток примеров. Но выбирайте ресурсы с проверенными решениями. Попробуйте курс подготовки к ЕГЭ от EL-ED: там касательная разобрана во всех форматах, от простых до олимпиадных.
Расширенные задачи
Иногда прямую просят провести так, чтобы она пересекала график дважды, а касалась один раз. Тогда нужно решить систему «прямая = функция» и искать точку кратного корня: f(x) − (kx + b) = 0. Дальше используют дискриминант или теорему Виета. В параметрах часто надо заставить дискриминант равняться нулю. Главная идея та же: равные наклоны и одна общая точка. Если график траектории тела, касательная даёт мгновенную скорость. В заданиях физико-геометрического плана это отдельный бонусный балл.
Полезные материалы для самостоятельной работы
Соберите личную базу источников.
- Сборник Ященко «Типовые экзаменационные варианты». Там каждый вариант содержит минимум одну касательную.
- Открытый банк ФИПИ. Удобно фильтровать задачи по номеру.
- Видео-канал «Математика с нуля». Короткие ролики по 10 минут.
- Бесплатный модуль «Производная и касательная» на Stepik. Есть тесты.
- Графический калькулятор Desmos. Быстро проверяет ответ визуально.
Держите файлик с выписанными формулами производных. Перед экзаменом пролистайте его три раза. Такая «мини-шпаргалка» закрепит знания и уберёт лишний стресс.