Сумма и разность углов: формулы, которые должны стать рефлексом
Сумма и разность углов часто спасают при вычислениях без калькулятора. Формулы выглядят компактно, но важно помнить знаки: sin(α ± β)=sin α cos β ± cos α sin β; cos(α ± β)=cos α cos β ∓ sin α sin β. Знак перед вторым произведением у косинуса меняется на противоположный. У тангенса стоит дробь: tg(α ± β)=(tg α ± tg β)/(1 ∓ tg α tg β). Эти три отношения решают половину задач на тригонометрию. Запоминать полезно образами: «синус дружелюбен, косинус-противоположен». Проверку делаю быстро: беру α=β, подставляю, получаю знакомые двойные углы. Формула работает — значит в ответе не ошибся.
Длинная задача чаще разбивается на два шага: сначала упрощаю выражение, затем подставляю численные углы. Поэтому полезно тренировать разворот: выражать sin α cos β через сумму синусов. В справочнике стоит sin α cos β=(1/2)[sin(α+β)+sin(α−β)]. Этим я линейно раскладываю произведение, когда нужно перейти от второй части задания к первой. Обратное преобразование тоже бывает полезным при сведении трёх синусов к одному.
Углы на окружности и полезные визуальные приёмы
На чертеже тригонометрия оживает. Отмечаю точки A(1,0) и B(cos β,sin β) на единичной окружности. Угол между OB и осью Ox равен β. Если добавлю точку C(cos α,sin α), то хорды BC и AC задают разность и сумму углов. Глядя на диаграмму, легко увидеть, почему знак «плюс» у синуса совпадает c «минусом» у косинуса. При повороте на β вправо ордината растёт, абсцисса уменьшается; формула отражает это.
Часто ученики путают направленный и вписанный угол. Чтобы избежать ошибки, рисую стрелку, показывающую движение против часовой стрелки. Тогда α+β — это именно обход от Ox до C через B. В задачах ЕГЭ встречаются выражения вида sin(π/3−x). Я представляю их как высоту треугольника с основанием на диаметре, сразу вижу знак. Метод рисунка отнимает секунды, но экономит баллы.
Знаковые ловушки и быстрые проверки
Главный провал происходит, когда ученик теряет «минус». Советы просты. Сначала выписываю формулу полностью, затем подставляю. Не сокращаю поспешно. Второй приём — подстановка «пограничных» углов. Беру α=β=π/4. Тогда sin(α−β)=0. Если в вычислении ноль не вышел, значит ошибся. Аналогично cos(π/2+δ)=−sin δ. Делаю быструю замену и ловлю лишний плюс.
Ещё одна ловушка — переход к радианам. Задача даёт градусы, а ученик вставляет π напрямую. Совет: перед преобразованиями перевожу всё либо в градусы, либо в радианы. Смешение систем порождает неверные множеители π/180.
Тригонометрический круг как карта сокращений
Тригонометрический круг удобен для запоминания не только значений, но и отношений. Поворачиваю точку на угол β, затем на α. Суммарный сдвиг виден как одна дуга. Если нужно найти sin(α+β), я читаю у круга ординату конечной точки. Аналогичная геометрия объясняет формулу cos(α−β). Рефлексия на круге делает запоминание механическим, а не зубрёжкой.
Круг помогает и с обратными тригонометрическими функциями. Например, arctg x отдаёт угол в (−π/2, π/2). При решении уравнения tg x=1 я сразу рисую точки π/4 и 5π/4. Чёткое место на круге исключает пропуск решений.
Алгебра и тригонометрия: метод разложения
Иногда выражение содержит и синусы, и корни, и параметры. Разбиваю задачу: сначала использую формулы суммы и разности, затем свожу выражение к многочлену от sin x. Пример: sin x+sin(π/3−x)=2 sin(π/6) cos(x−π/6). Получается 1 · cos(x−π/6). Дальше решаю простое неравенство cos(y)>0. Каждый шаг я аргументирую, чтобы не потерять балл за обоснование.
Иногда помогает введение новой переменной. Пусть t=sin x; тогда 1−t²=cos² x. Выражения упрощаются, решаю квадратное. Важно помнить, что t лежит в [−1,1]. Оценка диапазона избавляет от лишних корней.
Параметрические задания: когда α меняется
В номере 13 ЕГЭ параметр гуляет свободно. Допустим, дано уравнение cos(2x−α)=sin(α−x). Переписываю правую часть как sin(α−x)=sin(−(x−α))=−sin(x−α). Получаю cos(2x−α)+sin(x−α)=0. Заменяю y=x−α, тогда cos(y−α)+sin y=0. Дальше применяю формулы разности. Вывожу выражение вида A sin y+B cos y=0. Отсюда tan y=−B/A. Остаётся учесть, что y зависит от α, и расписать общий ответ.
При параметрах полезно строить график функции f(α)=max|решений|. Смотрю, где количество корней меняется. Чаще всего точка изменения совпадает с нулями коэффициентов A или B. Задачу превращаю в простое неравенство, которое решаю в две строки.
Типичные ошибки выпускников и способы их избежать
Статистика ФИПИ показывает: половина неправильных ответов связана не с незнанием, а с невнимательностью. Чтобы снизить риск, ввожу три ритуала. Первое: пишу итоговые формулы отдельной строкой, обвожу. Второе: проверяю граничные углы 0, π/2, π. Третье: читаю условие ещё раз перед тем, как переписывать ответ в бланк. Этот трёхшаговый метод сокращает ошибки почти вдвое.
Частая проблема — игнорирование ОДЗ при переходе к тангенсу. Я всегда записываю ограничение cos x≠0 рядом с преобразованием, даже если оно кажется очевидным. Такой «якорь» не даст забыть исключить лишние корни.
Тактика подготовки за месяц до экзамена
- Раз в два дня решайте по одному варианту полностью, фиксируя время.
- Отдельно тренируйте задачи, где встречается «сумма и разность углов»; скорость важна.
- После проверки переписывайте каждую ошибку, даже мелкую, и находите её источник.
- Разберите официальный открытый банк: ищите похожие конструкции, собирайте их в краткий конспект.
- Проводите «сухие» прогоны. Берите задачу, рассказывайте решение вслух без записи, отнимает пять минут, но формулы закрепляются.
Накануне экзамена не разучивайте новое. Повторите круг, основные значения синусов и косинусов, формулы приведения. Ложитесь спать вовремя, мозгу нужна энергия для быстрых вычислений. Спокойствие и чёткий план важнее редкой, но сложной теории.